Surstabilité et résonance

 

Augustin Fruchard   Reinhard Schäfke
Université de la Rochelle   Université Louis Pasteur
Avenue Marillac   7, rue René Descartes
17042 La Rochelle Cedex 1   67084 Strasbourg Cedex
France   Germany

 

Résumé:

On considère l'équation différentielle linéaire réelle ε y''+φ (x,ε)y'+ψ(x,ε)y=0 où ε>0 est un petit paramètre et où φ(x,0) est du signe de x. Les fonctions φ et ψ sont supposées analytiques dans un voisinage de [a,b]X{0}; on suppose en outre que la fonction ψ0:x→ψ(x,0) a un zéro en x=0, d'ordre au moins égal à celui de φ0:x→φ(x,0). Nous appelons solution résonnante une solution yε qui tend vers une solution non triviale de l'équation réduite (obtenue pour ε=0) et dont toutes les dérivées restent bornées lorsque ε tend vers zéro. On démontre dans ce contexte qu'une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation possède une solution résonnante, est qu'il existe une solution formelle en puissances de ε. La preuve repose sur l'étude dans le champ complexe des solutions surstables de l'équation de Riccati associée. Le résultat principal est un ``principe de prolongement'' de solutions surstables pour les équations analytiques en ε.

Mots-clés: résonance, canard, surstabilité, perturbation singulière.
Classification A.M.S. : 34E.

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